Le “problème à N corps” consiste à déterminer le mouvement de N masses sous l’effet des forces d’attraction gravitationnelles entre elles.

Pour N=2, Newton savait déjà que les deux corps décrivent des ellipses autour de leur centre de gravité commun.

Pour N=3, Poincaré avait découvert que les trajectoires des corps pouvaient être “chaotiques” : une toute petite différence dans les positions et vitesses initiales des corps pouvait causer de très importantes différences dans la trajectoire des corps. Cependant, malgré ce que beaucoup croient, il existe une solution analytique au problème des trois corps découverte en 1909 par Karl Sundman. Elle n’est cependant pas utilisable en pratique pour des calculs.

Pour plus de 3 corps, il n’existe pas de solution analytique. Ceci signifie entre autres qu’il n’est pas possible de démontrer la stabilité d’un système avec quelques corps, comme le Système Solaire par exemple. Des mathématiciens comme Laplace ou Lyapunov s’y sont cassés les dents : rien ne prouve que les planètes suivront toujours leurs orbites actuelles dans quelques centaines de millions d’années. Encore moins qu’un astéroïde viennent percuter notre belle planète beaucoup plus tôt.

Simulation du Système Solaire sur Univers Sandbox, N~20

Il est aujourd’hui facile de simuler quelques millions d’années d’évolution du Système Solaire sur un PC, par exemple avec Universe Sandbox, le chouette programme dont j’ai déjà parlé ici. Comme on connait avec une très grande précision la position, la vitesse et la masse des planètes et de leurs principaux satellites, on estime que l’on peut calculer leur position dans 5 millions d’années à 150m près. Pour arriver à cette précision, mais aussi tout simplement pour réaliser une simulation réaliste, il faut tout particulièrement veiller à la l’intégration numérique utilisée, pour garantir la conservation de l’énergie totale du système. Selon cette étude, la méthode de Gauss-Hermite donne les meilleurs résultats.

D’autre part, pour chacun des N corps, il faut calculer les N-1 forces exercées par les autres corps. Au total, il faudra calculer [N.(N-1)]/2 forces (le /2 vient du fait qu’il suffit de ne calculer qu’une fois la force entre deux corps). On dit que la complexité est O(N²) : il faut effectuer un nombre d’opérations proportionnel au carré de N. Pour quelques dizaines de corps, ça ne pose aucun problème, mais si l’on veut simuler des galaxies ou même la collision de galaxies avec N=1′000′000, on se retrouve avec mille milliards de forces à évaluer, ce qui nécessite beaucoup de temps de calcul.

Simulation de la future collision de la Voie Lactée et d'Andromède, N=100'000'000

On pourrait se dire qu’une petite étoile à un bout de la galaxie n’attire pratiquement pas une autre petite étoile très distante, mais négliger cette force n’est pas une bonne idée. D’une part, l’énergie totale du système ne serait plus conservée, et d’autre part il faudrait trouver un critère permettant de savoir quelles forces sont négligeables, sans les calculer.

Barnes et Hut ont proposé en 1986 un algorithme dont la complexité est O(N.log N). Pour N=1′000′000, il n’y a environ que 20′000′000 de forces à évaluer, ce qui rend le calcul possible. L’algorithme consiste à diviser l’espace en une structure arborescente appelée octree et à y répartir les corps. On ne calcule les forces qu’entre les corps situé dans la même zone de l’octree, puis l’algorithme calcule les interactions entre les zones. Reste une difficulté : en se déplaçant, les corps changent de zone, et l’algorithme nécessite d’adapter l’octree de l’adapter à la distribution des corps.

interaction de 2 amas de 50 galaxies. N=160′000

Dès 1987, Leslie Greengard a développé un algorithme baptisé “Fast Multipole Method” (FMM), dont la complexité est O(N) seulement, et qui ne nécessite pas d’adaptation de la division de l’espace utilisée. Il est assez facile d’illustrer cette méthode en 2D, mais en 3D l’interaction entre zones est beaucoup plus complexe.

La FMM est considérée par certains comme l’un des algorithmes les plus importants du XXième siècle, car il peut être appliqué à des problèmes beaucoup plus généraux que les N corps, comme certains problèmes de mécanique des fluides ou de mécanque traités jusqu’ici par des méthodes de type “éléments finis” ou de simulation de molécules. Inutile de dire que je vais regarder ça de plus près …

Références:

• NEMO A Stellar Dynamics Toolbox, le logiciel développé par Barnes et Hut, site avec énormément de liens sur le domaine
• Dossier “le chaos dans le système solaire” sur AstroSurf
• Problème à N corps sur la Wikipedia
• N-body Methods à Berkeley
• The Art of Computational Science
• VPNBody : code VPython
• Fast Multipole Method sur Wikipedia
• Guy Blelloch and Girija Narlikar “A Practical Comparison of N-Body Algorithms” Parallel Algorithms. Series in Discrete Mathematics and Theoretical Computer Science, Volume 30, 1997.
• CUNBody, une librairie de simulation N corps parallélisée sur GPU (processeur graphique)
• Parallel N-Body Simulations : comparaisons et implémentation sur super ordinateurs

Logiciels N corps sur PC:

• Universe Sandbox : le plus beau et le plus fun
• Gravit : utilise l’alogrithme de Barnes Hut
• AstroGrav
• Gravity 6
• Gravity Simulator, un peu ancien

Quel est le plus grand nombre entier que vous pouvez exprimer ? neuf milliards de milliards de milliards de (répéter quelques fois) milliards ? C’est un bon début, mais chaque “milliards de” n’ajoute que 9 zéros au nombre mais vous coute 12 lettres. Cherchez plus grand et plus court, disons en 5 caractères maximum.

99^99, où ^ signifie “à la puissance”, est déjà mieux : ça donne un nombre de 197 chiffres. Mais on peut faire beaucoup mieux : 9^9^9 donne un nombre monstrueux [à condition de considérer que 9^9^9 signifie 9^(9^9) et non (9^9)^9 ] de 387′420′489 chiffres  (J’ai trouvé une merveilleuse démonstration de cette proposition, mais je ne peux l’écrire dans cette marge car elle est trop longue ;-)  je la laisse donc à la sagacité du lecteur…)

A priori, de tels nombres n’ont aucune utilité : ils sont beaucoup plus grands que le nombre de particules dans l’Univers mais pourraient être intéressants tout de même : “Le problème avec les entiers est que nous avons seulement examiné les plus petits. Il se pourrait que les choses les plus extraordinaires arrivent pour des entiers réellement grands, ceux que l’on ne peut appréhender ou qu’on n’a simplement pas commencé à concevoir de manière très précise“. Ces mots sont de Ronald Graham, le mathématicien détenant le record du plus grand nombre entier utilisé dans une démonstration mathématique,  le nombre de Graham. C’est la plus petite solution connue d’un problème apparemment simple, mais ce nombre est si extraordinairement grand qu’un ordinateur de la taille de l’Univers n’arriverait pas à le stocker en mémoire. Pourtant il figure (presque) en noir sur blanc dans la démonstration de Graham, qui utilise une notation mathématique adaptée.

Les “puissances itérées de Knuth” consistent à généraliser la progression entre les opérateurs considérés comme des itérations :

• l’addition a+b est équivalente à b incrémentations : a+b=a+1+1+…+1+1 avec b “+1″
• la multiplication a.b est équivalente à b additions : a.b=a+a+ … +a avec b “a”
• l’élévation à la puissance a^b est équivalente à b multiplications : a^b=a.a. …a avec b “a”
• ensuite, Knuth définit l’opérateur ↑↑ ainsi : a↑↑b est équivalent à b élévations successives à la puissance a : a↑↑b=a^a^a…^a, avec b-1 “^a”.
  Avec cette notation, notre 9^9^9 se note 9↑↑2, un nombre minuscule à côté de 9↑↑9, lui même ridicule comparé à 9↑↑99 qui tient en 5 caractères aussi …
• On peut continuer en définissant a↑↑↑b = a↑↑a↑↑a↑↑…↑↑a avec b-1 “↑↑a”. Cet opérateur permet d’écrire les 5 caractères 9↑↑↑9, un nombre absolument titanesque. (qui arrivera à déterminer sa taille ?)
• Et évidemment, on peut continuer ainsi à l’infini en ajoutant des flèches, ou plus simplement définir un opérateur généralisé ↑ⁿ ainsi:
  

Outre sa beauté, cette généralisation des opérateurs mathématiques courants semble redoutablement puissante pour écrire de très très grands nombres.

Pourtant, nos amis mathématiciens ont éprouvé le besoin de manipuler des nombres encore plus grands de façon encore plus compacte et ont inventé les flèches chaînées de Conway :

• la chaine notée a→b→n est équivalente à a↑ⁿb. Par exemple, notre 9^9^9 se note 9→9→2. Donc avec 5 caractères toujours, on peut écrire 9→9→9, un nombre colossalement plus grand.
• pour n=1, on ne note pas le 3ème terme de la chaîne et on retrouve l’exponentiation usuelle : 9→9=9^9
• mais on peut aussi allonger la chaine. Les chaines de longueur 4 ou plus permettent de manipuler des nombres encore plus grands à l’aide règles bien définies.

Concluons en revenant au nombre G de Graham. Il est défini comme le 64ème élément de la suite

4, 3↑↑↑↑3,3↑^{(3↑↑↑↑3)}3, 3↑^s33,…, 3↑^s(n-1)3, … dans laquelle chaque élément donne le nombre de flèches dans l’élément suivant. Le 64ème élément a des milliards de milliards … de milliards de flèches. On ne sait pas directement l’écrire en chaine de Conway, mais on sait que G est compris entre
3→3→64→2 < G < 3→3→65→2

Plutôt compact pour des nombres qui n’ont pas beaucoup de chiffres à envier à l’infini …

sources :

• Ronald Graham et les mathématiques discrète sur le Blog à Maths
• Notation des puissances itérées de Knuth sur Wikipedia
• Flèche chaînée de Conway sur Wikipedia
• Factoids : big numbers
• Robert Munafo’s Large Numbers

La version 2008 du désormais traditionnel sondage politique organisé par les principaux partis suisse est lancée. Par rapport à l’année passée, les questions me semblent mieux posées et moins tendancieuses, à l’exception de “Dans les écoles à fort taux de criminalité, la présence policière est augmentée.” qui est encore présente cette année, à ma grande stupéfaction.

Ce qui me frappe dans l’édition 2008, c’est la fréquence du mot “interdit”. Que l’on parle de l’accès des mineurs à l’alcool, de l’achat de bagnoles gourmandes ou de nombreux autres sujets, les solutions envisagées partagent ce mot : interdit. Quand on trouve un “encouragement”, il laisse un petit goût amer : “Pour encourager l’économie d’énergie, la confédération prélève une taxe sur l’électricité d’une 20% du prix initial.” …

Une question intéressante dont je me réjouis de voir les résultats analysés et la suivante:

Une personne mariée, sans enfant et salariée avec un revenu annuel de 100 000 francs paie en Suisse 12 300 francs (= 12,3%) en moyenne d’impôts sur le revenu (impôts fédéraux, cantonaux et communaux compris) par an. (note pour les non Suisses : c’est un salaire “normal” pour une personne avec une formation universitaire)

• Combien d’impôts sur le revenu (impôts fédéraux, cantonaux et communaux compris) une personne avec 60 000 francs de revenus annuels doit-elle verser? (indiquer un nombre absolu ou un pourcentage) (c’est pratiquement le SMIC en Suisse…)
• Combien d’impôts sur le revenu (impôts fédéraux, cantonaux et communaux compris) une personne qui perçoit 500 000 francs de revenus annuels doit-elle verser? (indiquer un nombre absolu ou un pourcentage) (un bon médecin ou avocat, un directeur de PME …)

Un certain nombre de questions concernent la “concurrence fiscale”, et sur ce sujet je suis surpris que la méthode genevoise ne se généralise pas en Suisse et ne s’étende pas aux cantons. A Genève, nous payons la moitié de nos impôts communaux dans la commune de résidence, et l’autre moitié dans la commune où l’on travaille. Ceci évite, ou limite, l’apparition de banlieues (trop) chics et de zones (trop) défavorisées tout en finançant le développement des infrastructures citadines. Genève avait tenté sans succès de taxer les milliers de vaudois domiciliés dans les communes “frontalières”. Peut-être que si Zürich faisait de même avec ses schwytzois on ràduirait certains écarts artificiels…

Impôts toujours : il semble qu’il y ait quelques idées dans l’air concernant la simplification des calculs et des déclarations. C’est pas trop tôt. Mais la vraie bonne idée qui manque c’est celle ci : une déclaration unifiée pour toute la Suisse, puis chaque canton + confédération fait son petit calcul d’apothicaire spécifique sur cette même base. Les gens qui ont un bout de chalet dans un autre canton en ont vraiment marre de remplir 3 déclarations.

Bref, si vous habitez la Suisse, participez à cet important sondage. En prime, en indiquant votre adresse e-mail vous recevrez un petit résumé des résultats déjà disponibles avec votre positionnement politique sur 2 dimensions, la meilleure manière de comprendre la politique pour un scientifique. Mon profil est là :

Tiens, je suis noté plus à droite que la denière fois… ça doit être parce que je m’interdis d’interdire …

Python est un langage très puissant, mais livré dans un état un peu brut. Pour l’exploiter de façon efficace, il faut y ajouter des libraires graphiques, de calcul spécialisé ou d’accès à des bases de données par exemple. Certaines ne sont que des interfaces vers des librairies en C ou C++, ce qui implique souvent des étapes d’installation, voire de compilation. De plus on se heurte souvent à des conflits de version entre les librairies et Python lui-même, ce qui ne simplifie pas les choses. Enfin et surtout, un bon IDE (Environnement de Développement Intégré, à l’envers en anglais…) est indispensable pour programmer au XXIème siècle.

Python(x,y) résout tout ces problèmes en proposant un installeur unique de la Parfaite Panoplie du Petit programmeur Scientifique. Elle inclut:

• Python, évidemment (version 2.5.2 actuellement)
• Eclipse, le meilleur IDE de la Galaxie. Concu initialement pour Java, Eclipse permet de développer dans pratiquement tous les langages connus à l’aide de plugins. PyDev est celui qui supporte Python.
• MinGW, le “Minimalist GNU for Windows” qui comprend le célèbre compilateur C++ “GCC”. Grâce au plugin Eclipse CDT également fourni, Python(x,y) est donc en même temps un environnement de développement C++ très complet
• PyQt pour exploiter Qt, le framework d’applications multiplateforme de Nokia. Intégré à Eclipse, l’ensemble permet de créer des GUI (Interfaces Utilisateur Graphiques, à l’envers en anglais)
• une myriade de librairies scientifiques pour le traitement du signal et d’images, le calcul symbolique, la visualisation graphique 2D et 3D, le calcul parallèle etc. La liste complète est ici et le tout est résumé dans ce beau “mind map” :

(cliquer pour agrandir)

Un avantage non négligeable de Python(x,y) est qu’elle est une oeuvre de Pierre Raybaut. Je ne le connais pas, mais c’est un français, donc toute la documentation et le support de la distribution sont dans la langue de Molière.

Que vous vouliez vous initier à Python, simplement utiliser des libriaires qui vous donneront accès à un équivalent de Matlab ou vous lancer dans le développement d’une grosse application Python, je ne peux que vous recommander chaudement d’installer Python(x,y)

Ces temps-ci, je découvre Python, un langage de programmation très apprécié en particulier dans la communauté scientifique. Ce “langage interprété multi paradigme” intègre des concepts développés dans plusieurs langages récents, ce qui en fait peut-être le langage le plus complet disponible actuellement.

Pour une première approche de ce langage, je vous propose l’analyse du

Plus Court Solveur de Sudoku

Voici un  programme en Python de 173 caractères seulement qui serait le plus court solveur de sudoku connu actuellement :

def r(a): i=a.find('0') if i<0:print a [m in[(i-j)%9*(i/9^j/9)*(i/27^j/27|i%9/3^j%9/3)or a[j]for j in range(81)]or r(a[:i]+m+a[i+1:])for m in`14**7*9`]r(raw_input())

Ce programme est extrêmement compact et condensé, voire cryptique à l’instar des Cignatures. Ce n’est pas forcément la meilleure façon de programmer, mais ça révèle souvent la puissance cachée de certains langages. Ce programme est décrit en anglais et en détail ici, mais voici son principe en gros et en français:

def r(a): ... r(raw_input()) // définit la fonction “r” qui résout le sudoku, puis on l’appelle en passant en paramètre ce que l’utilisateur a entré au clavier. Ca doit être une chaine de 81 caractères contenant ligne par ligne les chiffres de 1 à 9 donnés, et des 0 aux emplacements vides.

i=a.find('0') if i<0:print a // au début de la fonction, on cherche le premier emplacement vide. Si on ne le trouve pas, on imprime le sudoku résolu

la partie principale de la fonction utilise deux concepts puissants de Python:

1. la “lazy evaluation” qui fait que l’expression “a or b” est équivalente à “if not(a):b”
2. la “compréhension de liste” qui permet de créer une liste en écrivant une boucle à l’intérieur de [crochets]. Par exemple “l = [x**2 for x in range(10)]” crée la liste des carrés des 10 premiers nombres entiers

ainsi cette expression [(i-j)%9*(i/9^j/9)*(i/27^j/27|i%9/3^j%9/3)or a[j]for j in range(81)] fournit la “liste d’exclusion” contenant les chiffres qui ne peuvent pas figurer dans le trou à la position i. On l’obtient en parcourant toutes les celllules et en ajoutant à la liste la valeur des cases a[j] situées sur la même ligne, la même colonne ou dans le même bloc que i. Le grand test compliqué détermine ces conditions en utilisant les opérateurs modulo (%), ou binaire (|) et ou exclusif (^).

Finalement, le [m in [...] or r(a[:i]+m+a[i+1:])for m in`14**7*9`] remplit successivement la grille avec les chiffres possibles en utilisant la ‘lazy evaluation’ une fois de plus : ce n’est que si le chiffre m n’est pas dans la liste d’exclusion qu’on execute la partie droite du or, laquelle appelle récursivement la fonction r en lui passant la grille en paramètre la grille a[:i]+m+a[i+1:]. Ici , l’opérateur + sert à concaténer des listes : d’abord les i-èmes premières cases, puis le chiffre m proposé pour la case vide, puis les cases à partir de la i+1 ème.

Ce programme utilise donc une approche “force brute” loin d’être optimale en temps de calcul : on essaie les chiffres possibles dans chaque case vide jusqu’à ce que ça marche.

Reste à découvrir une astuce de geek que je ne connaissais pas : 14**7*9 vaut 948721536, un nombre qui contient les chiffres 123456789, dans le désordre, mais ça va aussi pour notre application. Les backquotes ´…´ servent à former une chaine, comme d’ailleurs la fonction str(). L’avantage de ´14**7*9´sur “123456789″ ? ben c’est évident : il faut deux bytes de moins …

Bestiario.org est une petite, jeune et très dynamique entreprise créant des “espaces digitaux pour la création collective de connaissance”. Autour du slogan “rendre le complexe compréhensible”, ils combinent art et science pour créer des sites interactifs en Flash utilisant la théorie des graphes, la topologie, la simulation physique et la visualisation géométrique et géographique.

Voici quelques unes de leurs réalisations (cliquez sur les images pour lancer le site interactif correspondant) :

SPISI : visualisation de données en spirale

SPISI permet de rechercher des périodicités dans des données. En bougeant un curseur, on agit sur le nombre de données par tour de spirale. Les données à explorer sont :

• le nombre de diviseurs des nombre entiers. En approchant le curseur de 24 (ou 12…), on voit apparaitre la “Croix de Plichta“
• les variations de la température de notre belle planète, mesurée sur 422766 ans grâce à une carotte de glace antarctique. avec le curseur sur 100′000, on voit apparaitre 3 cycles assez clairement.
• l’index Dow Jones. Là on a beau chercher des cycles …

videosphère : toutes les vidéos du TED reliées

Videosphère permet de découvrir les fantastiques videos des conférences du TED, (si vous ne connaissez pas, voyez au moins celle là). On peut évidemment trouver les conférences sur des thèmes donnés, mais aussi naviguer vers des conférences sur des sujets similaires en explorant un graphe liaant les vidéos représentées sur une sphère. simple, efficace, et beau.

drinkMe : un zoom de 10^36 dans un graphe

Si vous n’êtes pas impressionné par DrinkMe (drôle de nom) , c’est que vous n’êtes pas informaticien. Cette démonstration au graphisme primitif permet de zoomer dans des données un peu comme le film “Les Puissances de Dix” à travers l’Univers. Pour passer de façon continue d’une visualisation macroscopique à un microscope avec un grossissement de 1′000′000′000′000′000′000′000′000′000′000′000′000 x , il faut une certaine maitrise de la programmation…

J’aurais souhaité décrire ici toutes les autres réalisations de Bestiario.org , mais ce serait trop long. Sachez qu’elles valent toutes la peine d’être vues ou expérimentées : ces gars là font du très beau travail. à suivre.

source: information aesthetics, un blog à suivre si vous vous intéressez à la représentation des données et la communication visuelle.

Worldmapper.org fournit plus de 360 cartes du “monde comme vous ne l’avez jamais vu” telles que celle-ci par exemple:

Ces cartes représentent des valeurs statistiques sur les pays en modifiant proportionnellement la surface des territoires concernés. Sur celle-ci dessus, c’est la proportion du PIB dévolu au service de la dette publique en 2002 qui est représenté.

On y voit par exemple que l’Afrique est beaucoup moins endettée que l’Europe de l’Est, et que la dette publique des USA , monstrueuse en chiffres absolus, ne l’est pas tant que ça…

Chaque carte est également disponible sous forme d’un poster au format pdf incluant des explications, idéal pour l’enseignement, à condition de lire l’anglais…

source: information aesthetics, un blog à suivre si vous vous intéressez à la représentation des données et la communication visuelle.

voir aussi : NationMaster.com, le meilleur site de statistiques nationales

Alain Riazuelo est astrophysicien à Paris et il a eu l’excellente idée (et les moyens) de simuler ce qu’un observateur verrait en s’approchant d’un trou noir, puis en plongeant dedans. Ainsi est né le film “Voyage au coeur d’un trou noir” dont voici un petit extrait :

La simulation est d’excellente qualité visuelle, la seule critique que je me permet d’émettre concerne le réalisme : les trous noirs tournent, et même très vite, ce qui engendre des effets qui ne sont pas représentés dans cette simulation. De plus, ils sont souvent entourés d’un disque d’accrétion et d’autres phénomènes très violents qui seraient très intéressant de visualiser, peut-être dans une suite (Le retour de la vengeance du trou noir …)

Le commentaire du film est très didactique, comme on le constate dès le début visible ici. Au total, il dure 38 minutes et il est disponible sur un DVD à prix très modique (3€90) auprès de Sciences et Avenir (bon de commande à imprimer ici)

Liens:

• émission “impatience” de la RSR sur ce sujet
• L’ article du magazine Sciences et Avenir
• Un extrait de simulation tiré du DVD Voyage au coeur d’un trou noir
• La page professionnelle d’Alain Riazuelo
• sa présentation donnée au Laboratoire d’Annecy de Physique des Particules en novembre 2007 (pdf, 34 Mo).

“Dimensions” est un film sur la géométrie et en particulier sur la notion clé de dimension.

Diffusé sous licence “Creative Commons” et donc disponible gratuitement, vous pouvez soit le télécharger soit le regarder directement en ligne.

“Dimensions“  est divisé en 9 chapitres permettant d’aborder progressivement des notions de plus en plus avancées.

• Ca commence très simplement avec la cartographie et la notion de projection : comment représenter la sphère terrestre sur un plan
• On poursuit avec Escher, artiste géomètre (que j’adore) et FlatLand, qui permet d’illustrer la notion de dimension supérieure en décrivant ce que verraient des êtres à 2 dimensions si un objet à 3 dimensions traversait leur univers.
• Les chapitres 3 et 4 présentent la 4ème dimension d’une façon plus complète et mieux illustrée que je l’ai fait. J’y ai surtout appris l’existence d’un illustre compatriote de plus : Ludwig Schläfli et découvert la puissance insoupçonnée de la projection stéréographique.
• Les nombres complexes font l’objet des chapitres 5 et 6, peu intéressants si vous maitrisez déjà le sujet. Dans ce cas sautez au milieu du chapitre 6 ou on présente les transformations, puis la “dynamique holomorphe” qui donne naissance aux célèbres fractales de Julia et Mandelbrot, entre autres.
• Les chapitres 7 et 8 présentent quelques notions de topologie, dont la fibration de Hopf. Là par contre, le contenu est très dense, il faudra que je revoie ce sujet au ralenti pour pouvoir prétendre avoir tout compris… Heureusement, j’ai pu me raccrocher aux Cercles de Villarceau et aux Cyclides de Dupin
• Le dernier chapitre est un peu particulier : il traite de la preuve en mathématiques et démontre de façon illustrée mais rigoureuse la propriété essentielle de la projection stéréographique : elle transforme un cercle tracé sur la sphère,
  qui ne passe pas par le pôle nord en un cercle tracé dans le plan tangent au pôle sud.

“Dimensions” est un film très instructif et bien fait, à voir pour réviser vos bases de géométrie ou pour les développer un peu.

Comme “Autour des Sciences” a été le plus rapide cette année à lister les lauréats du prix igNobel 2008, je me contente de traduire en français pour vous l’abstract de l’article lauréat en “économie” :

Geoffrey Miller, Joshua M. Tybur, Brent D. Jordanie

Effets du cycle ovulatoire sur les pourboires des strip-teaseuses: une preuve économique de l’œstrus humain ?

"strip-tease" par puss-in-boots sur flickr

Evolution and Human Behaviour, Volume 28, No 6, Pages 375-381 (Novembre 2007)

Pour voir si vraiment l’œstrus a été «perdu» au cours de l’évolution humaine (comme des chercheurs le prétendent souvent), nous avons examiné les effets du cycle ovulatoire sur les pourboires de strip-teaseuses professionnelles travaillant en night-clubs.

Dix-huit danseuses ont enregistré leurs périodes menstruelles, heures de travail, et pourboires pendant 60 jours sur le site Web de l’étude. Une analyse statistique par modèle mixte (? mixed-model ?) de 296 périodes de travail (soit environ 5300 danses) a montré une interaction entre la phase du cycle et l’utilisation de contraception hormonale.

Les participantes avec un cycle naturel gagnent environ US$ 335 sur 5h au cours de l’œstrus, US$ 260 sur 5h au cours de la phase lutéale, et US$ 185 sur 5h pendant les menstruations. En revanche, les participants utilisant la pilule contraceptive ne présentaient aucun pic de gains.

Ces résultats constituent la première preuve directe économique de l’existence et l’importance de l’œstrus chez la femme contemporaine, dans le cadre du monde du travail. Ces résultats ont des implications claires pour l’évolution humaine, la sexualité, et l’économie.

Mots-clés: oestrus, sexualité féminine, économie comportementale, industries de services sexuels, la contraception hormonale

C’est pas beau la science ?

Voir aussi sur Dr. Goulu :

• les prix igNobel 2007

Les cichlidés sont une famille regroupant environ 1200 espèces de poissons d’eau douce aux formes et couleurs très variées, très appréciées des aquariophiles.

L’équipe de Ole Seehausen, biologiste à l’Institut de recherche de l’eau Eawag et à l’Université de Berne et vient de publier un article dans “Nature” [1] montrant que les femelles de cichlidés du lac Victoria dont les yeux perçoivent mieux le bleu recherchent plutôt des mâles bleus pour l’accouplement, et que les femelles dont les récepteurs sont plus sensibles à la partie rouge du spectre choisissent des mâles arborant une parure nuptiale à dominante rouge.

Or la sensibilité des yeux des poissons varie en fonction de la profondeur d’eau à laquelle ils évoluent : les femelles d’eau profonde voient mieux le rouge que leurs cousines de surface, qui perçoivent mieux le bleu.

De ce fait, les mâles ont évolué dans le même sens: les eaux profondes sont dominées par ceux qui arborent des couleurs nuptiales rouges tandis que les mâles à couleur bleue prennent l’avantage près de la surface.

Ainsi, lorsque le spectre lumineux ne se modifie que lentement avec la profondeur, le long d’une berge en pente douce par exemple, il y a ainsi suffisamment de place pour qu’une “niche écologique” permette à des poissons de se distinguer de leurs voisins suffisamment pour définir une nouvelle espèce !

En bref, cette étude montre comment quelques gènes liés à la perception des couleurs peut s’amplifier au point de générer une grande variété d’espèces multicolores et magnifiques.

Sources:

1. Seehausen O., Y. Terai, I.S. Magalhaes, K.L. Carleton, H. Mrosso, R. Miyagi, I. van der Sluijs, M.V.Schneider, M.E. Maan, H. Tachida, H. Imai & N. Okada: Speciation through sensory drive in cichlid fish. Nature, 2008, doi:10.1038/nature07285.
2. De nouvelles espèces grâce à des différences de vue (version anglaise)

Dans les commentaire de l’article “Le comptage des points au tennis“, un jeune joueur m’a soumis un joli casse-tête : le règlement de swisstennis sur le classement des tennis(wo)man à croix blanche. Il semblerait que ceux qui n’ont pas de bonnes bases en maths (*) aient un peu de peine à le comprendre, et c’est vrai que c’est le premier règlement sportif dans lequel je vois des formules de ce genre :

Le principe est simple:”La valeur de classement d’un joueur C est déterminée par un nombre de points précis arrondi à un millième. C représente la somme de la valeur de compétition W et de la bonification de match R.” (Art 5.1)

Un joueur qui entre dans le classement reçoit un W=1, puis “La valeur de compétition W est calculée sur la base des résultats obtenus pendant la dernière année.” (Art 5.3) en utilisant la grosse formule ci-dessus ainsi:

• w0 est l’ancienne valeur de compétition du joueur
• les wi sont les valeurs de compétition des S joueurs battus pendant l’année
• les wj sont les valeurs de compétition des N joueurs qui l’ont battu pendant la même période.

Simplifions tout ça en imaginant que Roger Federer , qui a un W=17.394, et notre jeune joueur qui en est à W=0.892 ne jouent qu’un seul match en 2009, dans lequel ils s’affrontent dans un duel sans pitié. Ainsi les sommes notées avec le Σ ne correspondent qu’au seul adversaire affronté, soit comme vaincu soit comme vainqueur.

Il est très probable que Federer gagne. Dans ce cas, selon la formule, son nouveau W vaudra (ln(exp(17.394)+exp(0.892))-ln(exp(-17.394)))/2 = 17.394000034. La magie des fonctions exponentielles et logarithmiques permet de traduire en mathématiques le Cid : “A vaincre sans péril, on triomphe sans gloire” : le classement du no.1 ne s’améliorerait pas.

Quant à notre jeune joueur, après sa défaite son W passerait à W=(ln(exp(0.892))-ln(exp(-0.892)+exp(-17.394)))/2 = 0.891999966, donc resterait inchangé après arrondi au millième.

Mais si nous avions là un génie de la raquette qui parvenait à terrasser “Rodjeur”, son W monterait à (ln(exp(0.892)+exp(17.394))-ln(exp(-0.892)))/2 = 9.143 d’un seul coup alors que Federer dégringolerait à W=(ln(exp(17.394))-ln(exp(-17.394)+exp(-0.892)))/2=9.143 aussi. Heureusement pour lui, il pourrait invoquer l’Art 5.5 qui lui permettrait de rayer cette défaite humiliante s’il avait joué au moins 5 autres matches dans l’année…

En passant, 9.143 est la moyenne arithmétique des w0 des deux joueurs, ce qui montre que la formule fait une sorte de moyenne pondérée par la logique : un joueur ne progresse dans le classement que s’il bat des plus forts que lui, et ne régresse que s’il perd contre des plus faibles.

Voilà. Le principe est le même pour le calcul de la “bonification de match” R,  mais  la formule est illisible dans le document officiel… Ca a l’air d’être la même que pour W sauf qu’on utilise un coefficient 1/6 au lieu de 1/2. Si j’ai bien compris le reste du règlement, cette “surprime de risque” s’applique dès que le joueur dispute son 6ème tournoi de l’année ou son 5×6 = 30ème match, mais l’Art 5.5 sur les 5 procédures de calcul me semble peu clair…

Note* : Les bases de maths nécessaires pour comprendre la formule sont :

• la connaissance des fonctions exponentielles : e^x signifie le nombre e à la puissance x. Sur une bonne calculatrice, c’est souvent la touche [EXP] qui calcule ceci.
• la fonction ln(x) représente le “logarithme néperien” qui est la fonction inverse de l’exponentielle : ln(e^x) = e^ln(x) = x . Sur les calculatrices c’est [LN], parfois [LOG] mais il faut faire attention à ne pas confondre avec le log base 10 qui donne log(1000)=3
• la somme notée par Σ permet d’additionner un nombre de termes “indicés” comme indiqué sous le Σ: i=1 indique que la variable i vaut 1, puis 2 etc jusqu’à la valeur N indiquée au dessus du Σ.

Dans l’article précédent, j’explique comment votre GPS peut déterminer la latitude et la longitude où vous vous trouvez à partir de satellites. C’est génial, mais c’est peu utile si vous n’êtes pas un marin.

Ce qui fait l’intérêt du GPS de nos jours c’est qu’il vous dit que vous êtes sur la Route du Mandement en direction de Satigny, et qu’il faut tourner à droite 300m après le giratoire pour aller en direction de Bourdigny. Comment est-ce possible ?

En plus du récepteur sophistiqué décrit dans l’article précédent, un GPS contient une grosse mémoire pour stocker une carte géographique et un microprocesseur relativement puissant pour calculer votre itinéraire par une méthode qui fait l’objet de cet article.

La carte routière stockée dans votre GPS est bien plus qu’une digitalisation d’une carte routière en papier : elle contient le “graphe” formé par le réseau routier, à savoir tous les carrefours (ou points, ou noeuds) reliés par un réseau de chemins (ou arcs, ou arêtes).

Pour aller d’un point à un autre, le microprocesseur de votre GPS va déterminer le trajet le plus court entre deux lieux en parcourant ce graphe. Si vous utilisez un logiciel de cartographie comme Google Maps, vous vous êtes peut-être dit que Google a assez de gros ordinateurs pour le faire rapidement, et garde peut-être même en mémoire les requêtes les plus fréquentes (Paris - le Grau du Roi…) pour les resservir plus vite. Mais si vous avez un petit GPS dans votre voiture ou dans la main, vous avez certainement remarqué qu’il lui fait plusieurs secondes avant de pouvoir commencer à vous indiquer la direction à prendre. En réalité, c’est plutôt le fait qu’il n’ait pas besoin de minutes, voire d’heures de calcul qui tient de l’exploit, tant il existe de routes possibles.

Tout d’abord, remarquons que la position géographique des noeuds n’est pas indispensable pour résoudre le problème; seules les informations sur la “longueur” des routes importe réellement si on cherche à minimiser le trajet. Ceci permet d’ailleurs de choisir ce que l’on veut minimiser :

1. la distance parcourue. Dans ce cas seule la longueur de chaque route est utile
2. le temps nécessaire. Si chaque route est caractérisée par une vitesse moyenne ou un temps de parcours habituel, le chemin optimal favorisera une autoroute de contournement qu’une traversée urbaine
3. la consommation, le cout financier … En fait, on peut attribuer à chaque route un “cout” selon un critère quelconque, voir même deux couts correspondant aux deux sens de parcours, ce qui permet de tenir compte des sens interdits par exemple.
4. si une route n’existe pas, on peut même en inventer une de coût élevé pour faire de l’humour.

Ensuite, les trajets en voiture satisfont une hypothèse importante appellée “principe d’optimalité de Bellman” qui simplifie beaucoup la résolution du problème : si le trajet optimal de A à C passe par B, alors les trajets AB et BC sont aussi optimaux, et le cout pour aller de A à C est égal à la somme des couts AB+BC.

Cette hypothèse appelée semble évidente, mais elle peut être invalide avec d’autres moyens de transport:

• Marc, un ami (ingénieur) qui prit un vol Copenhague-Reykjavik pour visiter l’Islande eut la surprise de s’apercevoir qu’il payait son billet plus cher que les nombreux autres passagers de l’avion qui volaient de Copenhague à New-York. Ce viol du principe d’optimalité rend plus compliqué la recherche du vol le moins cher.
• Les transports publics partant à des heures déterminées par un horaire violent également le principe d’optimalité : il vaut parfois mieux choisir des trains avec de bonnes correspondances plutôt qu’un TGV qui nous obligera à perdre 1h dans une gare en attendant le train suivant.

Dans ces cas là, il faut tenter de modifier le problème pour le faire obéir au principe d’optimalité, soit se résigner à de très, très, très longs calculs.

Mais si le “principe d’optimalité de Bellman” est satisfait, et c’est le cas en voiture, alors on peut utiliser des algorithmes très efficaces :

1. Le célèbre algorithme de Dijkstra publié en 1959 permet de trouver le chemin joignant deux noeuds d’un graphe en minimisant la somme des “couts” et donc de trouver le “plus court chemin“. Son temps de calcul est proportionnel à (m+n).log(n), où n est le nombre de nœuds et m le nombre de routes, ce qui rend possible son application sur des graphes comportant des millions de noeuds et routes.
2. En prenant en compte la position des villes, on peut utiliser des algorithmes heuristiques comme “A*” (A-star) qui fournissent plus rapidement un chemin très proche de l’optimum dans le cas d’une carte “normale”, mais peuvent être plus lents que Dijkstra dans des cas vicieux.

Une fois le trajet optimal déterminé, il suffit à votre GPS de vérifier que vous le suivez scrupuleusement à partir des mesures satellite, de vous diriger à gauche ou à droite, et si vous vous plantez ou si vous rencontrez un bouchon, de recalculer en vitesse un nouveau trajet optimal.

L’étape suivante sera de remettre à jour les cartes embarquées dans les GPS par des signaux radio, genre Wifi ou téléphone 3G. En cas de bouchon ou de travaux, il suffit de modifier automatiquement le cout du trajet correspondant et hop, les voitures équipées conseilleront un nouveau trajet optimal à leur conducteur. Ca s’appelle le progrès et c’est pour bientôt.

Références:

1. Moshe Sniedovich , “Dijkstra’s Algorithm revisited : the OR/MS Connexion“, Department of Mathematics and Statistics, The University of Melbourne, Parkville, VIC 3052, Australia

Les GPS sont ces appareils “magiques” apparus il y a 15 ans sur les bateaux, puis sur les avions, les voitures de luxe, les taxis et les camions il y a 5 ou 6 ans, et qui se répandent maintenant dans les voitures et les téléphones voire les appareils photos.

Bref, ça n’épate plus personne de savoir où on est à quelque mètres près dans une ville inconnue et d’être dirigé vers son hôtel de façon fiable par une douce voix féminine qui reste parfaitement calme même si on ne suit pas le chemin tracé. Mais si on sait comment ça marche, le GPS apparait comme l’une des 7 merveilles du monde technologique*

Ce premier article présente la partie “Satellites et Signaux” de cette extraordinaire réalisation .

Le principe est tout simple : 24 satellites tournent autour de la Terre sur des orbites précises, en faisant “bip-bip”. En tout point de la planète, on peut recevoir les signaux de 6 à 10 satellites.

On pourrait se dire que 3 satellites suffisent:

• si on sait quels satellites ont émis les bips reçus, on peut savoir où ils se trouvent sur leur orbite
• et si on sait combien de temps le “bip” à mis pour aller du satellite à l’endroit où on se trouve à la vitesse de la lumière

alors on sait qu’on se trouve à l’intersection de 3 sphères centrées sur les satellites, et dont les rayons correspondent à la distance parcourue par chaque “bip”, et il n’y a que 2 tels points, dont l’un n’est probablement pas à la surface de la Terre, donc nous nous trouvons à l’autre.

La principale difficulté et de mesurer avec une grande précision le temps mis par les bips pour parcourir la distance entre le satellite et le récepteur.

Certaines pages du web prétendent que les signaux émis par les 3 satellites contiennent l’heure exacte de l’émission. C’est faux et ça serait inutile, car il faut aussi une horloge ultra précise au récepteur. Les satellites sont effectivement équipés d’horloges atomiques ultra précises, mais il serait beaucoup trop cher d’en mettre dans chaque récepteur.

Le truc, c’est de tenir compte d’un quatrième satellite et de calculer l’intersection de 4 sphères au lieu de 3, mais dans l’espace à 4 dimensions, en tenant compte du temps : il n’existe qu’un seul endroit à un seul moment extrêmement précis où les décalages entre les bips des 4 satellites donnés peuvent correspondre aux mesures. Le GPS fournit donc non seulement la position géographique, mais aussi l’heure exacte en prime.

Reste encore quelques petits détails techniques à résoudre.

D’abord, les bips-bips doivent être reconnaissables, pour qu’on sache quel satellite l’a émis. On pourrait les émettre sur 24 fréquences différentes, mais ça ferait des récepteurs compliqués. Donc ils sont tous émis sur la même fréquence, mais alors ils doivent être clairement distincts : des bip-bips, des bop-bops, des bap-baps etc.

Ensuite, le satellite émet avec une puissance de 25W qui arrose presque la moitié de la surface de la Terre. Sur Terre, un récepteur reçoit 0.000178 pW . [pW] c’est “picoWatt”, un millième de milliardième de Watt, la puissance d’un muscle de puceron. Cette puissance reçue est 45 fois inférieure (16 décibels) à la puissance du bruit thermique dans la gamme de fréquence du GPS. Pour éviter d’avoir à détecter des “bip-bips” minuscules noyés dans un CHCHCHCHCHCHCHCH continu, il y avait une solution : mettre sur chaque GPS une douzaine d’antennes paraboliques de 1m de diamètre, motorisées et tourniquant dans tous les sens pour suivre les satellites.

Les concepteurs du GPS ont trouvé une solution heureusement plus simple et carrément géniale. Ils se sont dit qu’en fait, la seule information qui devait réellement être transmise depuis les satellites, c’était une horloge. Un “tic-tac” plutôt qu’un “bip-bip”. Et pour que le récepteur puisse distinguer les “tic-tacs” des différents satellites, chaque horloge est émise sous forme d’un “signal binaire pseudo-aléatoire” différent, une suite de 0 et de 1 comme celle-ci par exemple :

Le récepteur reçoit une dizaine de tels signaux superposés, décalés et noyés dans du bruit. Comment débrouiller tout ça ? “Facile” : en générant des signaux identiques dans le récepteur et en tentant de les “corréler” avec celui qu’on reçoit de l’espace. La corrélation consiste à comparer les bits qu’on a cru reconnaitre dans le bruit avec ceux générés dans le récepteur, puis à décaler légèrement le signal généré et à recommencer. Si pour un certain décalage on trouve un nombre statistiquement significatif de bits correspondants, on sait:

1. que l’on reçoit effectivement le signal du satellite dont la séquence pseudo aléatoire correspond à celle recréée dans le récepteur
2. que l’on a synchronisé l’horloge du récepteur avec celle du satellite.

Tout ceci prend un peu de temps, c’est pourquoi un GPS peut mettre plusieurs minutes à s’initialiser à la mise sous tension. Il peut aussi perdre un peu la boule quelques secondes lorsqu’un satellite disparait à l’horizon, avant d’en retrouver un autre, c’est pourquoi la plupart des GPS modernes sont capables de suivre 5,6,7 satellites voire plus et de choisir ceux donnant le meilleur signal voire de les combiner pour améliorer la précision de la mesure.

Mais tant que le récepteur peut identifier 4 satellites et les décalages entre leurs signaux, il peut :

• déterminer l’heure exacte
• consulter la position des satellites sur leur orbite grâce à une tabelle interne,
• calculer la position de l’observateur à la surface de la terre (latitude et longitude)
• et éventuellement son altitude, pour un avion ça peut servir.

Génial, non ?

Références:

1. Global Positioning System sur la Wikipedia
2. le GPS, une page très complète sur le sujet
3. le GPS du Mathématicien, avec formules et code Matlab
4. “dBm” sur Answers.com
5. GPS explained : Runtime measurements of the Signals

Note* : pour rappel, les autres merveilles du monde technologique sont le microprocesseur, le télescope Hubble, le LHC du CERN, internet, le turboréacteur et le laser.

Viens de recevoir ce message :

“Bonjour Philippe,
Tout comme 10 millions de personnes, vous êtes inscrit(e) à UNYK, le premier carnet
d’adresses intelligent et nous vous en remercions.
Afin de continuer à améliorer notre server, notre petite équipe réalise un sondage
sur la perception et les besoins des utilisateurs d’UNYK. Veuillez s’il vous plaît nous
accorder 10 minutes de votre temps pour y répondre.
A gagner : Un iPhone “

Wow ! On peut gagner un iPhone ! Cool !

Si les 10 millions d’utilisateurs qui ont reçu ce message grâce à 10 millions d’e-mails passent 10 minutes à répondre au sondage, ça fait 100′000′000 de minutes de travail, soit 195 ans de vie humaine consacrées à cette mission, 7 jours sur 7, 24h  sur 24. Même si un seul pourcent des utilisateurs fait le sondage, ça fait environ 10 ans de travail salarié !

Mais bon, on a une chance sur des millions de gagner UN iPhone, ça vaut bien un petit effort, non ?

AntiSpore.com est un blog fondé qui a fait trembler la blogosphère en 3 jours avec trois poignées d’articles sur le thème “Résister à la guerre d’Electronic Arts contre le créationnisme”. Antispore combat la diffusion de Spore, un jeu accusé d’enseigner lâchement la théorie de l’évolution aux enfants, tout en les exposant à la nudité de créatures pouvues d’attributs sexuels imposants, entre autres perversions.

Les 18 articles publiés en 3 jours sur AntiSpore ont suscité plus de 6000 commentaires allant des insultes au soutien total… Jusqu’à la parution de l’article Understand my beliefs please (Comprenez mes croyances SVP) qui se terminait par cet étrange paragraphe (traduit pour vous):

Mais la Bible nous enseigne que Dien n’en avait pas fini avec l’homme. Mais nous étions Sa cration et Il parla ainsi à Noé dans Genèse 8:21-27 après le Déluge:

• 21. Le Seigneur huma les odeurs plaisantes et dit en son coeur “Plus jamais je ne maudirai la terre à cause de l’homme, même si chaque tendance de son coeur est mauvaise depuis son enfance. Et jamais je ne vous abandonnerai”
• 22. “Et jamais je ne vous abandonnerai.”
  
• 23.”Jamais je ne fuirai et ne vous abandonnerai.”
  
• 24. “Jamais je ne vous ferai pleurer”
  
• 25. “Jamais je ne vous dirai au revoir.”
  
• 26. “Jamais je ne vous mentirai ni ne vous heurterai.”
  
• 27.”Ne croyez jamais ce que vous lisez sur Internet. Il y aura toujours des cas relevant de la Loi de Poe.”

c’était donc un canular très bien fait, dont la genèse (sans G majuscule…) est décrite dans la “vraie page à propos“.

Reste à savoir ce qu’est la “Loi de Poe” dont nous parle le “Seigneur”. Je n’ai pas trouvé sa formulation en français, mais en traduisant de l’Urban Dictionary ça donne:

“Sans un smiley clignant de l’oeil ou un autre signe flagrant d’humour, il est impossible de créer une parodie de fondamentalisme religieux que quelqu’un ne prendra pas au sérieux.”

Cette “Loi” est dérivée d’un principe du théologien Harry Lee Poe, un cousin of Edgar Allan Poe, qui proposa aux évangélistes de sélectionner les passages bibliques en fonction du public considéré. Oui, c’est encore très utilisé…

Vu cette extraordinaire photo au milieu d’un diaporama sur les destructions causées par le cyclone Ike au Texas:

Que dire de plus ?

palindrome par puja (flickr)

Prenons un nombre au hasard : 1729. Ecrivons-le à l’envers : 9271 et additionnons les deux nombres : 1929+9271=11000. Recommençons avec ce nombre : 11000+00011 = 11011.

Ce nombre est égal à lui même écrit à l’envers, c’est un nombre “palindrome“, comme le mot “radar” ou la phrase “élu par cette crapule” si on ne tient pas compte des espaces, ou encore “le grand palindrome“, un texte de 5566 lettres écrit par Georges Perec en 1969.

Tiens, refaisons le calcul avec 1969 pour voir :
1969+9691 = 11660
11660+06611 = 18271
18271+17281 = 35552
35552+25553 = 61105
61105+50116 = 111221
111221+122111 = 23332 : palindrome !

Bizarre n’est-ce pas ? En fait on peut prendre n’importe quel nombre de départ, et la séquence d’opérations arrive inévitablement à un nombre palindrome en un nombre fini d’itérations. C’est du moins ce que l’on conjecture, car il y a deux problèmes :

1. nos amis mathématiciens n’ont aucune idée de la raison qui fait que ça marche, entre autre parce que “écrire un nombre en base 10 à l’envers” n’a pas de signification mathématique simple.
2. il y a un gros hic. Si on commence avec 196, on n’arrive pas à un palindrome même après 300 millions d’itérations…

196 est le plus petit des “nombres de Lychrel” (en l’honneur de Cherly, la petite amie du matheux qui a proposé cette propriété) : les nombres qui n’aboutissent apparemment pas à un palindrome … Dans ces nombres se trouvent évidemment ceux produits à chaque itération à partir de 196, mais aussi quelques autres.

Ce qui est intéressant aussi, c’est la distribution du nombre d’itérations : très souvent, on atteint le palindrome en quelques étapes, même pour de très grands nombres, mais quelques rares nombres demandent quelques étapes de plus

Par exemple pour les nombres de 1 à 99, on arrive à un palindrome en 4 itérations ou moins  pour 98 nombres, 79 et 97 ont besoin de 6 itérations, mais 89 et 98 nécessitent 24 itérations.

Pour les nombres de 1 à 999, 929 atteignent le palindrome en 6 itérations ou moins, 13 sont des nombres de Lychrel et les 57 restant ont besoin de moins de 24 étapes : 89 et 98 sont toujours les plus gourmands en itérations

Poussons jusqu’à 10′000 : à part les 246 nombres de Lychrel, il n’y a toujours pas d’autre nombre que 89 et 98 qui nécessite plus de 24 itérations.

La quête du “palindrome le plus retardé” a donné ces résultats :

 Nombre  Iterations     Palindrome
 10911         55    4668731596684224866951378664
 147996        58    8834453324841674761484233544388
 150296        64    682049569465550121055564965940286
 1000689       78    796589884324966945646549669423488985697
 1005744       79    796589884324966945646549669423488985697
 1017501       80    14674443960143265333356234106934447641
 7008899       82    68586378655656964999946965655687368586
 9008299       96    555458774083726674580862268085476627380477854555
 100239862     97    1345428953367763125675365555635765213677633598245431
 140669390     98    1345428953367763125675365555635765213677633598245431
1090001921     99    6634544448788301675886446885761038878444454366
1009049407    101    1543434266587555114779722279774115557856624343451
1050027948    104    5831124885795990016569666669656100995975884211385
1304199693    105    5831124885795990016569666669656100995975884211385
1005499526    109    66330069478378985774345546664554347758987387496003366

on voit que le nombre maximal d’itérations requises n’augmente que très lentement, ce qui rend les nombres de Lychrel encore plus intriguants et exceptionnels.

A propos : j’ai commencé cet article par mon nombre fétiche 1729 parce que celui de Zinzin, 1548 est peu intéressant : 1548+8451 = 9999. Ou alors, 30 ans plus tard, je viens de découvrir une nouvelle propriété de ce nombre …

Références:

• forum avec un bout de code Python pour le calcul de palindromes
• 196-Algorithm sur MathWorld

C’est assez facile de faire rire des scientifiques ou des ingénieurs, car ils sont sensibles à de nombreuses formes d’humour.

Blagues

Il y a bien sur les histoire classiques comme “Dans un jeu télévisé,  un ingénieur, un physicien et un mathématicien doivent construire une clôture tout autour d’un troupeau de moutons en utilisant aussi peu de matériel que possible.

• L’ingénieur fait regrouper le troupeau dans un cercle, puis construit une barrière tout autour.
• Le physicien construit une clôture d’un diamètre infini et tente de relier les bouts de la clôture entre eux jusqu’au moment où tout le troupeau peut tenir dans le cercle.
• Le mathématicien, voyant ceci, construit une clôture autour de lui-même et se définit comme y étant à l’extérieur.”

Vous en trouverez de nombreuses autres de ce genre ici.

(Auto)-Dérision

Les désormais fameux prix igNobel récompensent les recherches les plus étranges, republiées dans le “Journal of Improbable Research“. Je vous avais parlé ici des prix 2007, les 2008 ne vont pas tarder à être décernés, préparez vos zygomatiques. Ce qui me surprend le plus, c’est de voir la plupart des lauréats accepter leur prix avec le sourire et gratifier l’assistance d’une présentation en bonne et due forme de leur sujet de recherche farfelu, diffusée largement en video.

L’autodérision est également très appréciée dans la communauté scientifique. En particulier, le “Journal of Irreproductive Results” publie des articles parodiques voire délirants, mais respectant scrupuleusement le formalisme formellement formel des publications scientifiques de plus haut niveau.

Dans le même ordre d’idées, quelques aménagements du système international d’unités ont été proposés pour étendre le domaine d’application de la science tout en intégrant de quelques expressions du langage populaire dans le formalisme scientifique. Voir en particulier la norme NF UNM 00-000 dite des “unités pifométriques” dont je vous ai déjà parlé ici

Lois Universelles

Un moyen assez simple de faire coller la dure réalité expérimentale aux belles théories scientifiques consiste à tenir compte de quelques lois universelles additionnelles, complétant voire supplantant occasionnellement la logique pure.

Les lois de Murphy sont les plus connues puisqu’elles sont absolument fondamentales en ingénierie et dans la plupart des sciences expérimentales

les devises Shadok

Depuis 1968, les extraterrestres surréalistes de Jacques Rouxel continuent d’émailler les conversations de scientifiques et d’ingénieurs avec leurs devises célèbres, comme:

• pourquoi faire simple quand on peut faire compliqué ? (oui, c’est bien des Shadoks, à l’origine …)
• s’il n’y a pas de solution, c’est qu’il n’y a pas de problème.
• il vaut mieux pomper même s’il ne se passe rien que risquer qu’il se passe quelque chose de pire en ne pompant pas.
• pour qu’il y ait le moins de mécontents possible, il faut toujours taper sur les mêmes.

Pour notre plus grand bonheur, certains épisodes aussi épiques que surréalistes des Shadoks sont disponibles sur le web, et d’autres en DVD. Voici par exemple une merveille de mixture cours de maths + délire :

Les informaticiens

L’humour des informaticiens est particulièrement caustique car leur discipline repose sur essentiellement sur un sur-ensemble des lois de Murphy faisant qu’un ordinateur exécutant sans erreur un programme réalisant la fonction pour laquelle il a été conçu tient du pur miracle.

De ce fait, les informaticiens sont des mystiques assez prompts aux blagues métaphysiques, mais aussi aux blagues à connotation religieuse voire racistes visant les minorités comme les adeptes de Fortran ou les Cobolistes.

L’humour informaticien est notamment très présent dans les Perlisismes, tels que “Il y a deux manières d’écrire des programmes sans erreurs. Seule la troisième marche.”

N’hésitez pas à mettre en commentaire d’autres références que vous pourriez connaitre!

Quelques questions fréquemment posées à propos du LHC du CERN :

• C’est quoi, un hadron ?
• D’où viennent les protons ?
• Combien y’a-t-il de protons qui tournent ?
• Combien de temps les protons passent-ils dans l’expérience ?
• MeV, GeV, TeV ???
• Violent comme une collision de moustiques … ou de trains ?
• Comment font les protons pour tourner dans des sens différents ?
• ALICE

C’est quoi, un hadron ?

Logiquement, le LHC aurait pu s’appeler LPC, pour “large proton collider” parce qu’on y fracassera prochainement des protons les uns contre les autres. Mais plus tard, on va également y accélérer des noyaux de plomb, formés de protons et de neutrons. Les protons et les neutrons appartenant à la famille des hadrons (ce sont plus précisément des baryons), on a trouvé que LHC, ça sonnait bien. Moi j’aurais préféré un nom plus poétique comme “tournicoton” ou “femto-banger”, mais on ne m’a pas demandé mon avis.

D’où viennent les protons ?

Le proton forme le noyau de l’atome le plus simple : l’hydrogène, qui est aussi de loin l’élément le plus abondant dans l’Univers. On en injecte un tout petit peu dans le “Duoplasmatron Proton Ion Source” dessiné ci-dessous par le “Gas feed”. Dans la “plasma chamber”, l’hydrogène est tellement chauffé par un arc électrique que les protons et les électrons qui leur tournent autour se séparent.

schéma du Duoplasmatron Proton Ion Source du CERN. (Cliquer dessus pour agrandir)

crédit : Aleksandras S. (flickr)

Au milieu de ce plasma se trouve la cathode et au bout du canal étroit, l’anode. Entre les deux on applique par impulsions une tension de 92′000 volts, ce qui accélère les protons en direction de la droite, et les électrons vers la gauche, où ils se font manger. Les électroaimants en vert servent à regrouper les protons le plus possible en un faisceau, mais ils arrivent par gros paquets à l’anode. L’ “expansion cup” les dilue un petit peu, de sorte qu’à la sortie on a de beaux trains de proton.

Tout ça n’est pas gros du tout, voici une photo du dispositif avec une bouteille d’hydrogène qui devrait suffire pour quelques années de fonctionnement :

Combien y’a-t-il de protons qui tournent ?

il y a 2808 paquets de protons qui tournent en même temps dans le LHC dans chaque sens, et chaque paquet contient 100 milliards de protons. Au total, il y a un dix-milliardième de gramme de protons répartis sur les 27km de tube.

Combien de temps les protons passent-ils dans l’expérience ?

Quand un proton quitte sa source, il traverse un premier petit accélérateur linéaire, le “linac” qui l’accélère à 50 MeV en quelques microsecondes, et entre dans le “Proton Synchroton Booster” (PSB) qui l’accélère à 1.4 GeV en 530 millièmes de seconde. Puis il est injecté dans le “Proton Synchroton“, un accélérateur de 628m de circonférence datant de 1959. Là il est accéléré pendant environ 1 seconde. Il est déjà presque à la vitesse de la lumière, donc il parcourt 300′000 km pendant ce temps, doit près de 500′000 tours. Dans certains cas, le proton reste encore 1 seconde de plus avant d’être passé au SPS. Le “supersynchroton à protons” est un accélérateur de 7km de périmètre datant de 1976 ou les paquets de protons attendent entre 10.8 secondes et 0 secondes, ce qui permet de regrouper 4 paquets venant du PSB en un seul, prêt à passer dans le LHC. Jusqu’ici les protons ont passé entre 6 et 18 secondes environ dans l’antichambre de la bête.

Puis, les 2808 paquets de protons sont injectés un à un dans chaque sens du LHC pendant 20 minutes à une énergie de 450 GeV et quand ils se suivent bien gentiment à une distance de 7.5 mètres les uns des autres et que tout est stable, on met la gomme pendant 25 minutes pour atteindre les 7 TeV

MeV, GeV, TeV ???

L’ électron-volt (eV) est une unité à tout faire. A la base, c’est la minuscule énergie d’un électron accéléré par une tension de 1 Volt. Mais selon la célèbre équation d’Albert E=mc2 lue à l’envers, m=E/c2, la masse d’une particule peut aussi être mesurée en électron-volt (divisés par la vitesse de la lumière au carré, mais on laisse souvent tomber ce détail). Ainsi, un proton au repos à une masse de .938 GeV (Giga-électron-volt) et dans le LHC on l’accélère à 7 TeV (Tera-électron-volt) soit 7000 GeV.

Comme Albert s’obstine à dire que l’énergie et la masse c’est la même chose à un facteur près, ça signifie qu’à la vitesse correspondant à cette énergie (99.999999% de la vitesse de la lumière, “huit neufs” comme j’appelle ça dans “accélération“), tout se passe comme si le proton pesait plus de 7000x son poids au repos. Le choc n’en sera que plus violent.

Violent comme une collision de moustiques … ou de trains ?

Même multipliée par 7000, la masse d’un tout petit proton n’est que de 1.2477^-23 Kg, mais il va très vite. En se fracassant contre un autre l’énergie libérée est de 226′961 Joules, soit 0.063 KWh pour parler en unités d’énergie plus habituelles. C’est vraiment pas beaucoup, mais c’est extraordinairement concentré dans un minuscule pouillème d’espace.

D’un autre côté, le LHC devrait produire environ 2 milliards de telles collisions par seconde, et ça, ça correspond à une puissance telle que j’ai du me planter quelque part dans les calculs…

(La suite date du16/9/2008)

Heureusement Benjamin est venu à la rescousse : On parle de 600 millions de collisions par seconde. Au maxium, une collision est de 14 TeV (2 fois 7 TeV). 1 eV est égale à 1,602e-19 Joule. On obtient alors par seconde :

14e12*1,602e-19*600e6 = 1 345 Joules / sec = 1 345 Watt

Donc le LHC fournit une puissance (de collision) égale à environ 1,3 kW… Pas de quoi fouetter un chat mais c’est fabuleux quand on regarde la masse d’un proton.

Concernant l’énergie d’un faisceau LHC à 7 TeV, on obtient pour les 2808 bunches contenant 100 milliards de protons:
2808*100e9*7e12*1.602e-19 = 314 889 120 Joules

Donc l’énergie contenu dans le faisceau est de 350MJ (ca fait un TGV de 400 tonnes à 150 km/h).

L’énergie emmagasinée dans les aimants supraconducteurs pour faire tourner et focaliser les faisceaux est quant à elle gigantesque : On obtient un total de 11 GJ dans les aimants du LHC (de quoi faire fondre une demi tonne de cuivre).

Comment font les protons pour tourner dans des sens différents ?

D’abord, comme on le voit sur une figure précédente, les protons accélérés dans un seul sens dans le SPS sont transférés au LHC par deux chemins différents illustrés en rouge.

Pour tourner en rond dans les deux sens, les faisceaux de protons doivent être courbés par 1232 aimants “dipolaires”à supraconducteurs extrêmement puissants (8.3 Teslas, 11′850 Ampères, 35 tonnes / pièce …), mais qui doivent générer des champs inverses pour les deux directions .

Comme on le voit sur la coupe ci-contre, il y a en réalité 2 bobines supraconductrices pour chaque sens de circulation, avec des pôles N et S inversés, ce qui crée des lignes de champ illustrées sur l’image suivante :

Ce qui peut paraitre surprenant aussi c’est que le champ est orienté haut/bas et pas horizontal. Il faut se souvenir que ce n’est pas le proton qui est attiré par l’aimant, mais que c’est le courant électrique créé par son déplacement linéaire qui interagit avec le champ magnétique de l’aimant, ce qui crée sur les protons une force perpendiculaire au déplacement par la règle du tire-bouchon.

A noter que ce ne sont pas des aimants qui accélèrent les protons, mais des “cavités accélératrices” dans lesquelles règne un champ électrique de 6000V/m. Chaque cavité ne fonctionne que sur un seul sens.

(La suite date du20/9/2008)

ALICE

ALICE est l’un des 4 détecteurs installés aux 4 points ou les faisceaux se croisent. “Alice”, c’est l’acronyme de “A Large Ion Collider Experiment” : une expérience de collision de grozions gros ions. Les ions en question sont des noyaux de plomb contenant 82 protons que le LHC accélèrera une fois par mois environ au lieu de protons.

L’énergie des noyaux sera de 82 x 7=574 Tev, mais ça ne fait “que” 574/208 = 2.76 TeV par nucléon, à cause des neutrons. On aura donc des collisions plus énergétiques, mais des densités d’énergie moins élevées. Le but d’ALICE est d’étudier la purée quarks+gluons, en particulier des questions comme :

• A quoi ressemble la matière chauffée à 100′000 x la température au centre du soleil ?
• Pourquoi les protons et les neutrons pèsent 100x plus lourd que les 3 quarks dont ils sont constitués ? (et ça c’est une vachement bonne question…)
• Peut-on libérér les quarks collés (par les gluons) dans les protons et les neutrons ?

D’autres questions ?

Posez-les dans les commentaires et on tentera d’y répondre.

Références:

1. C.E. Hill “ION AND ELECTRON SOURCES” CERN, Geneva, Switzerland
2. LHC facts and figures
3. LHC machine outreach
4. l’inévitable Wikipedia
5. aimants et accélérateurs au cea : plein d’illustrations intéressantes
6. Alice et le plomb
7. Alice au CERN et aussi ici en anglais

I’m pleased to see that some people are still looking for the “RedLight” tool I developed at DynaBits back in 2003. I therefore decided to make it available again here, especially because it has a button that points to my PayPal account which is still valid, and, just to mention, no one never ever paid a single $, € or CHF for RedLight …

Technically, since this is a blog about API, the trick is to stop a rebuild when it starts by handling the RegenNotify event and exploiting this information from the API help : “Return S_FALSE to stop from proceeding with the action that caused the notification.”

Below is a copy of the (old) page about RedLight on DynaBits’ web site:

“RedLight” is a FREE add-in for SolidWorks to avoid (automatic) rebuilds and measure edit/idle time.

Copyright 2003, DynaBits sàrl Switzerland www.dynabits.com
You may use this program freely, give it away, but not sell it.
DynaBits makes no guarantee and offers no support for this free tool!

Installation

• Download RedLight.exe [329 Kb] installer (from the download “Box” on the right)
• Run the installer and check the “SolidPlus RedLight” add-in in “Tools/Add-Ins” menu if needed
• If you can’t see these 3 buttons , right-click the window frame and check the “RedLight” toolbar.

Usage

1. The “red light” button which remains pushed when you click it.
   As long as it remains pushed:
   1. all rebuilds will be skipped.
   2. but mates will still be enforced. Especially, if you create a new mate it will be satisfied without rebuilding the whole model.

   Click the red light button again to set it back to normal position, re-enabling rebuilds.

2. The two “green light” buttons let you rebuild the model manually, even if the red button is pushed:
   1. The “small” green light does an “EditRebuild”, which is fast but doesn’t go in depth : it doesn’t solve dependencies or propagate to assembly components.
   2. The “large” green light is supposed to do the same as the standard SW “green light” button (which doesn’t work when red light is pushed). However it seems that it rebuilds everything.

   While the red light button is pushed, we advise to use the “EditRebuild” button, and make a “ForceRebuild” only when needed.

Select SolidPlus/RedLigh/About… menu to display the following dialog:

Any period longer than 1min without selection made or changed is considered as idle time.

The “About” dialog appears also when exiting SolidWorks or when unchecking “RedLight” from the add-ins list.

Tip : if you want to measure time spent on a project, stop/restart RedLight when starting the project. In a forthcoming version, time spent on each document will be stored and accumulated in a custom property.

Release Notes

• v. 1.1.1 (2003/07/18) : Added Force rebuild button, menus, idle time monitoring and installer
• v 1.0.8 (2003/07/11) : Added “About” dialog box with statistics. No longer “open source”
• beta 2 (2003/07/03) : By special request of bob.z, RedLight now plays a sound “(tada.wav”) at the end of every rebuild longer than 10 secs.
• beta 1 (2003/06/26) : first release, announced on comp.cad.solidworks.

Read what users said about RedLight

This bit of code you’ve written (redlight) is already saving me more time than any of the (…) enhancements SW has come up with in recent memory.

Alex

Truly excellent add-in. You can even map the functions to ye olde Spacemouse. What more could you ask for?

Jim Elias

RedLight Rocks !!! saves me lots of time; very nice

Navy Diver

Often when mating components, normally SW takes (…) time to rebuild. With Redlight, it doesn’t rebuild until you want it to. One nice thing I’ve noticed when using Redlight is this. If instead of hitting your rebuild button after creating mates, you drag one of the components, only those mates just created resolve, even better, eh.

Another nice surprise. When creating angle mates the SW way, normally I line up the components roughly in the way I want them using the rotate component tool. Then I add the mates with the ‘closest’ option. I have found that SW never gets it right in the preview so I have to go through the other 3 combinations available, each time of course sitting back for the mind numbing rebuild. Quite often when I then get out of the mate dialogue the mate flips. So far without fail, using your Redlight, if I go into edit mode and drag the component as I’ve described before, the mates are exactly as I’ve intended.

Alex

Special Disclaimer :

RedLight can save you a lot of time BUT it uses a low-level trick to skip rebuilds which might interfere with normal SW functionning.
RedLight might therefore cause unexpected behaviour of SolidWorks and/or third-party add-ins.
Therefore, DynaBits takes NO RESPONSABILITY for any malfunction or problem that might occur due the usage of this program.
USE REDLIGHT AT YOUR OWN RISK!

(However, user feedback suggest it is not that risky…)